1 \documentclass[fleqn]{jsarticle}
5 \title{微分積分法の基本定理 fundamental theorem of calculus}
11 関数 $f(x)$ の面積を $S(x)$、$x_0$、$x$ を$f(x)$ 上の点とし、$F(x) = \int f(x) dx$ とすると、
14 S(x) = \lim_{n \to \infty} \sum^{n}_{k=1} \frac{x - x_0}{n} f(x_0 + \frac{x-x_0}{n} k) = F(x) - F(x_0)
17 $S(x)$ は、次のように表すこともできる。
20 \int^{x}_{x_0} f(t) dt &= F(x) - F(x_0) \\
27 S'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{S(x+h) - S(x)}{h}
31 $f(x)$ の $[x, x+h]$ での 最小値・最大値をそれぞれ $\min(f(x+h))$、$\max(f(x+h))$ とすると、
33 h \cdot \min(f(x+h)) &\leq S(x+h) - S(x) \leq h \cdot \max(f(x+h)) \\
34 \min(f(x+h)) &\leq \frac{S(x+h) - S(x)}{h} \leq \max(f(x+h))
37 $h \to 0$ とすると、$\min(f(x+h)) \to f(x)$、$\max(f(x+h)) \to f(x)$。
41 \lim_{h \to 0} \frac{S(x+h) - S(x)}{h} = f(x)
46 \ref{df}、\ref{hasami} より、
59 S(x_0) = \lim_{n \to \infty} \sum^{n}_{k=1} \frac{x_0 - x_0}{n} f(x_0 + \frac{x_0-x_0}{n} k) = 0
62 \ref{sx} に$x = x_0$、$S(x_0) = 0$ を代入し、