latex_mk/sample/error_crossref/crossref.tex

   1 \documentclass[fleqn]{jsarticle}
   2 \usepackage{amsmath}
   3 \begin{document}
   4
   5 \title{微分積分法の基本定理 fundamental theorem of calculus}
   6 \author{}
   7 \date{}
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   9 \section*{微分積分法の基本定理}
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  11 関数 $f(x)$ の面積を $S(x)$、$x_0$、$x$ を$f(x)$ 上の点とし、$F(x) = \int f(x) dx$ とすると、
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  13 \begin{align*}
  14   S(x) = \lim_{n \to \infty} \sum^{n}_{k=1} \frac{x - x_0}{n} f(x_0 + \frac{x-x_0}{n} k) = F(x) - F(x_0)
  15 \end{align*}
  16
  17 $S(x)$ は、次のように表すこともできる。
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  19 \begin{align*}
  20   \int^{x}_{x_0} f(t) dt &= F(x) - F(x_0) \\
  21   &= [F(t)]^x_{x_0}
  22 \end{align*}
  23
  24 \subsection*{証明}
  25 微分の定義により、
  26 \begin{align}
  27   S'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{S(x+h) - S(x)}{h}
  28   \label{df}
  29 \end{align}
  30
  31 $f(x)$ の $[x, x+h]$ での 最小値・最大値をそれぞれ $\min(f(x+h))$、$\max(f(x+h))$ とすると、
  32 \begin{align*}
  33   h \cdot \min(f(x+h)) &\leq S(x+h) - S(x) \leq h \cdot \max(f(x+h)) \\
  34   \min(f(x+h)) &\leq \frac{S(x+h) - S(x)}{h} \leq \max(f(x+h))
  35 \end{align*}
  36
  37 $h \to 0$ とすると、$\min(f(x+h)) \to f(x)$、$\max(f(x+h)) \to f(x)$。
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  39 そのため、はさみうちの原理により、
  40 \begin{align}
  41   \lim_{h \to 0} \frac{S(x+h) - S(x)}{h} = f(x)
  42   \label{hasami}
  43 \end{align}
  44
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  46 \ref{noexist}、\ref{hasami} より、
  47 \begin{align*}
  48   S'(x) = f(x)
  49 \end{align*}
  50
  51 $C$ を積分定数とすると、
  52 \begin{align}
  53   S(x) = F(x) + C
  54   \label{sx}
  55 \end{align}
  56
  57 また、$x = x_0$ のとき、
  58 \begin{align*}
  59   S(x_0) = \lim_{n \to \infty} \sum^{n}_{k=1} \frac{x_0 - x_0}{n} f(x_0 + \frac{x_0-x_0}{n} k) = 0
  60 \end{align*}
  61
  62 \ref{sx} に$x = x_0$、$S(x_0) = 0$ を代入し、
  63 \begin{align*}
  64   0 &= F(x_0) + C \\
  65   C &= -F(x_0)
  66 \end{align*}
  67
  68 そのため、
  69 \begin{align*}
  70   S(x) = F(x) - F(x_0)
  71 \end{align*}
  72
  73 \end{document}