1 \documentclass{jsarticle}
2 \usepackage[dvipdfm,pdftitle={算法少女 問題1 解答}]{hyperref}
4 \usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
5 \usepackage{amsmath,amssymb}
21 \includegraphics[height=8cm]{q1_1.pdf}
24 直線$AB$、直線 $BC$ 、直線 $CA$ はそれぞれEを中心とする小円の接線。
25 その接点をそれぞれ $I$、$J$、$K$ とする。
27 さらに、小円の半径を1、外接円の半径をR、${\angle}CAB=\theta^{\circ}$ とする。
30 \includegraphics[height=8cm]{q1_2.pdf}
39 AB = 2R \label{eq:ab1}
44 AB = AI + IB \label{eq:ab21}
47 $AI$ と $AK$ はどちらも点 $A$ を通り、点 $E$ を中心とする小円の接線のため、
49 AI = AK \label{eq:ai1}
54 AC = AK + KC \notag \\
55 AK = AC - KC \label{eq:ak1}
58 三角形 $ABC$ において ${\angle}BCA = 90^{\circ}、{\angle}CAB = {\theta}^{\circ}$より、
60 AC = AB{\cos}{\theta} \label{eq:ac11}
63 \ref{eq:ab1}、\ref{eq:ac11} より、
65 AC = 2R{\cos}{\theta} \label{eq:ac1}
68 $KC$ と$EJ$ は正方形 $EJCK$ の2辺のため、
70 KC = EJ \label{eq:kc1}
78 \ref{eq:kc1}、\ref{eq:ej} より、
83 \ref{eq:ak1}、\ref{eq:ac1}、\ref{eq:kc} より、
85 AK = 2R{\cos}{\theta} - 1 \label{eq:ak}
88 \ref{eq:ai1}、\ref{eq:ak} より、
90 AI = 2R{\cos}{\theta} - 1 \label{eq:ai}
93 また、$IB$ と $BJ$ はどちらも点 $B$ を通り、点 $E$ を中心とする小円の接線のため、
95 IB = BJ \label{eq:ib11}
100 BC = BJ + JC \notag \\
101 BJ = BC - JC \label{eq:bj1}
104 三角形 $ABC$ において ${\angle}BCA = 90^{\circ}、{\angle}CAB = {\theta}^{\circ}$より、
106 BC = AB{\sin}{\theta} \label{eq:bc11}
109 \ref{eq:ab1}、\ref{eq:bc11} より、
111 BC = 2R{\sin}{\theta} \label{eq:bc1}
114 $JC$ と$EJ$ は正方形 $EJCK$ の2辺のため、
116 JC = EJ \label{eq:jc1}
119 \ref{eq:ej}、\ref{eq:jc1} より、
124 \ref{eq:bj1}、\ref{eq:bc1}、\ref{eq:jc} より、
126 BJ = 2R{\sin}{\theta} - 1 \label{eq:bj}
129 \ref{eq:ib11}、\ref{eq:bj} より、
131 IB = 2R{\sin}{\theta} - 1 \label{eq:ib}
134 \ref{eq:ab21}、\ref{eq:ai}、\ref{eq:ib}より、
136 AB = 2R{\cos}{\theta} -1 + 2R{\sin}{\theta} -1 \notag \\
137 AB = 2R{\sin}{\theta} + 2R{\cos}{\theta} - 2 \label{eq:ab2}
140 \ref{eq:ab1}、\ref{eq:ab2} より、
142 2R = 2R{\sin}{\theta} + 2R{\cos}{\theta} - 2 \notag \\
143 R({\sin}{\theta} + {\cos}{\theta} - 1) = 1 \label{eq:ab}
150 DG = R \label{eq:dg1}
155 DG = DF + FG \label{eq:dg21}
158 三角形ADFにおいて ${\angle}AFD=90^{\circ}$、${\angle}DAF={\theta}^{\circ}$ より、
160 DF = AD{\sin}{\theta} \label{eq:df1}
168 \ref{eq:df1}、\ref{eq:ad} より、
170 DF = R{\sin}{\theta} \label{eq:df}
176 FG = 1 \times 2 \notag \\
180 \ref{eq:dg21}、\ref{eq:df}、\ref{eq:fg}より、
183 DG = R{\sin}{\theta} + 2 \label{eq:dg2}
186 \ref{eq:dg1}、\ref{eq:dg2}より、
189 R = R{\sin}{\theta} + 2 \notag \\
190 R = \frac{2}{1 - {\sin}{\theta}} \label{eq:dg}
193 \ref{eq:ab}、\ref{eq:dg}より、
198 R({\sin}{\theta} + {\cos}{\theta} - 1) = 1 \\
199 R = \dfrac{2}{1 - {\sin}{\theta}}
205 \frac{2({\sin}{\theta} + {\cos}{\theta} - 1)}{1 - {\sin}{\theta}} = 1 \\
206 2{\sin}{\theta} + 2{\cos}{\theta} -2 = 1 - {\sin}{\theta} \\
207 {\cos}{\theta} = \frac{3}{2}(1 - {\sin}{\theta})
210 ${\sin}^2{\theta} + {\cos}^2{\theta} = 1$より、
212 {\sin}^2{\theta} + [\frac{3}{2}(1 - {\sin}{\theta})]^2 = 1 \\
213 13{\sin}^2{\theta} - 18{\sin}{\theta} + 5 = 0 \\
214 {\sin}{\theta} = \frac{5}{13}, 1
217 ${\theta}$は直角三角形の一角の角度で $0^{\circ} < {\theta}^{\circ} < 90^{\circ}$ のため、$0 < {\sin}{\theta} < 1$。よって、
220 {\sin}{\theta} = \frac{5}{13} \label{eq:sintheta}
223 \ref{eq:dg}、\ref{eq:sintheta}より、
226 R = \frac{2}{1 - \frac{5}{13}} \notag \\
227 \therefore R = \frac{13}{4}
230 そのため、小円の半径と外接円の半径の比は、$4:13$