latex_mk/test/sanposhojo/q1_ans.tex

   1 \documentclass{jsarticle}
   2 \usepackage[dvipdfm,pdftitle={算法少女 問題1 解答}]{hyperref}
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   5 \usepackage{amsmath,amssymb}
   6 \usepackage{okumacro}
   7 \usepackage{textcomp}
   8 \begin{document}
   9
  10 \title{算法少女}
  11 \author{}
  12 \date{}
  13
  14 \include{q1_q}
  15
  16 \section*{解答}
  17
  18 点や線を次の図のように定義する。
  19
  20 \begin{center}
  21 \includegraphics[height=8cm]{q1_1.pdf}
  22 \end{center}
  23
  24 直線$AB$、直線 $BC$ 、直線 $CA$ はそれぞれEを中心とする小円の接線。
  25 その接点をそれぞれ $I$、$J$、$K$ とする。
  26
  27 さらに、小円の半径を1、外接円の半径をR、${\angle}CAB=\theta^{\circ}$ とする。
  28
  29 \begin{center}
  30 \includegraphics[height=8cm]{q1_2.pdf}
  31 \end{center}
  32
  33 \newpage
  34
  35 まず、$AB$ を調べる。
  36
  37 $AB$ は外接円の直径のため、
  38 \begin{gather}
  39  AB = 2R  \label{eq:ab1}
  40 \end{gather}
  41
  42 また、
  43 \begin{gather}
  44  AB = AI + IB  \label{eq:ab21}
  45 \end{gather}
  46
  47 $AI$ と $AK$ はどちらも点 $A$ を通り、点 $E$ を中心とする小円の接線のため、
  48 \begin{gather}
  49  AI = AK \label{eq:ai1}
  50 \end{gather}
  51
  52 ここで、
  53 \begin{gather}
  54  AC = AK + KC \notag \\
  55  AK = AC - KC \label{eq:ak1}
  56 \end{gather}
  57
  58 三角形 $ABC$ において ${\angle}BCA = 90^{\circ}、{\angle}CAB = {\theta}^{\circ}$より、
  59 \begin{gather}
  60  AC = AB{\cos}{\theta} \label{eq:ac11}
  61 \end{gather}
  62
  63 \ref{eq:ab1}、\ref{eq:ac11} より、
  64 \begin{gather}
  65  AC = 2R{\cos}{\theta} \label{eq:ac1}
  66 \end{gather}
  67
  68 $KC$ と$EJ$ は正方形 $EJCK$ の2辺のため、
  69 \begin{gather}
  70  KC = EJ \label{eq:kc1}
  71 \end{gather}
  72
  73 $EJ$は小円の半径のため、
  74 \begin{gather}
  75   EJ = 1 \label{eq:ej}
  76 \end{gather}
  77
  78 \ref{eq:kc1}、\ref{eq:ej} より、
  79 \begin{gather}
  80  KC = 1 \label{eq:kc}
  81 \end{gather}
  82
  83 \ref{eq:ak1}、\ref{eq:ac1}、\ref{eq:kc} より、
  84 \begin{gather}
  85  AK = 2R{\cos}{\theta} - 1 \label{eq:ak}
  86 \end{gather}
  87
  88 \ref{eq:ai1}、\ref{eq:ak} より、
  89 \begin{gather}
  90  AI = 2R{\cos}{\theta} - 1 \label{eq:ai}
  91 \end{gather}
  92
  93 また、$IB$ と $BJ$ はどちらも点 $B$ を通り、点 $E$ を中心とする小円の接線のため、
  94 \begin{gather}
  95  IB = BJ \label{eq:ib11}
  96 \end{gather}
  97
  98 ここで、
  99 \begin{gather}
 100  BC = BJ + JC \notag \\
 101  BJ = BC - JC \label{eq:bj1}
 102 \end{gather}
 103
 104 三角形 $ABC$ において ${\angle}BCA = 90^{\circ}、{\angle}CAB = {\theta}^{\circ}$より、
 105 \begin{gather}
 106  BC = AB{\sin}{\theta} \label{eq:bc11}
 107 \end{gather}
 108
 109 \ref{eq:ab1}、\ref{eq:bc11} より、
 110 \begin{gather}
 111  BC = 2R{\sin}{\theta} \label{eq:bc1}
 112 \end{gather}
 113
 114 $JC$ と$EJ$ は正方形 $EJCK$ の2辺のため、
 115 \begin{gather}
 116  JC = EJ \label{eq:jc1}
 117 \end{gather}
 118
 119 \ref{eq:ej}、\ref{eq:jc1} より、
 120 \begin{gather}
 121  JC = 1 \label{eq:jc}
 122 \end{gather}
 123
 124 \ref{eq:bj1}、\ref{eq:bc1}、\ref{eq:jc} より、
 125 \begin{gather}
 126  BJ = 2R{\sin}{\theta} - 1 \label{eq:bj}
 127 \end{gather}
 128
 129 \ref{eq:ib11}、\ref{eq:bj} より、
 130 \begin{gather}
 131  IB = 2R{\sin}{\theta} - 1 \label{eq:ib}
 132 \end{gather}
 133
 134 \ref{eq:ab21}、\ref{eq:ai}、\ref{eq:ib}より、
 135 \begin{gather}
 136  AB = 2R{\cos}{\theta} -1 + 2R{\sin}{\theta} -1 \notag \\
 137  AB = 2R{\sin}{\theta} + 2R{\cos}{\theta} - 2 \label{eq:ab2}
 138 \end{gather}
 139
 140 \ref{eq:ab1}、\ref{eq:ab2} より、
 141 \begin{gather}
 142  2R = 2R{\sin}{\theta} + 2R{\cos}{\theta} - 2 \notag \\
 143  R({\sin}{\theta} + {\cos}{\theta} - 1) = 1 \label{eq:ab}
 144 \end{gather}
 145
 146 次に、$DG$ を調べる。
 147
 148 $DG$ は外接円の半径のため、
 149 \begin{gather}
 150  DG = R \label{eq:dg1}
 151 \end{gather}
 152
 153 一方、
 154 \begin{gather}
 155  DG = DF + FG \label{eq:dg21}
 156 \end{gather}
 157
 158 三角形ADFにおいて ${\angle}AFD=90^{\circ}$、${\angle}DAF={\theta}^{\circ}$ より、
 159 \begin{gather}
 160  DF = AD{\sin}{\theta} \label{eq:df1}
 161 \end{gather}
 162
 163 $AD$ は外接円の半径のため、
 164 \begin{gather}
 165  AD = R \label{eq:ad}
 166 \end{gather}
 167
 168 \ref{eq:df1}、\ref{eq:ad} より、
 169 \begin{gather}
 170  DF = R{\sin}{\theta} \label{eq:df}
 171 \end{gather}
 172
 173 FGはEを中心とする小円の直径のため、
 174
 175 \begin{gather}
 176  FG = 1 \times 2 \notag \\
 177  FG = 2 \label{eq:fg}
 178 \end{gather}
 179
 180 \ref{eq:dg21}、\ref{eq:df}、\ref{eq:fg}より、
 181
 182 \begin{gather}
 183  DG = R{\sin}{\theta} + 2 \label{eq:dg2}
 184 \end{gather}
 185
 186 \ref{eq:dg1}、\ref{eq:dg2}より、
 187
 188 \begin{gather}
 189  R = R{\sin}{\theta} + 2 \notag \\
 190  R = \frac{2}{1 - {\sin}{\theta}} \label{eq:dg}
 191 \end{gather}
 192
 193 \ref{eq:ab}、\ref{eq:dg}より、
 194
 195 \begin{gather}
 196  \left\{
 197  \begin{array}{l}
 198   R({\sin}{\theta} + {\cos}{\theta} - 1) = 1 \\
 199   R = \dfrac{2}{1 - {\sin}{\theta}}
 200  \end{array}
 201  \right.
 202 \end{gather}
 203
 204 \begin{gather*}
 205  \frac{2({\sin}{\theta} + {\cos}{\theta} - 1)}{1 - {\sin}{\theta}} = 1 \\
 206  2{\sin}{\theta} + 2{\cos}{\theta} -2 = 1 - {\sin}{\theta} \\
 207  {\cos}{\theta} = \frac{3}{2}(1 - {\sin}{\theta})
 208 \end{gather*}
 209
 210 ${\sin}^2{\theta} + {\cos}^2{\theta} = 1$より、
 211 \begin{gather*}
 212  {\sin}^2{\theta} + [\frac{3}{2}(1 - {\sin}{\theta})]^2 = 1 \\
 213  13{\sin}^2{\theta} - 18{\sin}{\theta} + 5 = 0 \\
 214  {\sin}{\theta} = \frac{5}{13}, 1
 215 \end{gather*}
 216
 217 ${\theta}$は直角三角形の一角の角度で $0^{\circ} < {\theta}^{\circ} < 90^{\circ}$ のため、$0 < {\sin}{\theta} < 1$。よって、
 218
 219 \begin{gather}
 220  {\sin}{\theta} = \frac{5}{13}     \label{eq:sintheta}
 221 \end{gather}
 222
 223 \ref{eq:dg}、\ref{eq:sintheta}より、
 224
 225 \begin{gather}
 226  R = \frac{2}{1 - \frac{5}{13}} \notag \\
 227  \therefore R = \frac{13}{4}
 228 \end{gather}
 229
 230 そのため、小円の半径と外接円の半径の比は、$4:13$
 231 \end{document}