X-Git-Url: http://j8takagi.net/cgi-bin/gitweb.cgi?a=blobdiff_plain;f=latex_mk%2Ftest%2Fcrossref%2Fcrossref.tex;fp=latex_mk%2Ftest%2Fcrossref%2Fcrossref.tex;h=725e2912e52332dcfad5b9fdb8f40bd9686ac073;hb=5cf06a94624e9eb77d35557ece89ad36df1d0e3f;hp=0000000000000000000000000000000000000000;hpb=8d229c72e390d8b66b3ab2916db3362a7685c798;p=makefiles.git diff --git a/latex_mk/test/crossref/crossref.tex b/latex_mk/test/crossref/crossref.tex new file mode 100644 index 0000000..725e291 --- /dev/null +++ b/latex_mk/test/crossref/crossref.tex @@ -0,0 +1,73 @@ +\documentclass[fleqn]{jsarticle} +\usepackage{amsmath} +\begin{document} + +\title{微分積分法の基本定理 fundamental theorem of calculus} +\author{} +\date{} + +\section*{微分積分法の基本定理} + +関数 $f(x)$ の面積を $S(x)$、$x_0$、$x$ を$f(x)$ 上の点とし、$F(x) = \int f(x) dx$ とすると、 + +\begin{align*} + S(x) = \lim_{n \to \infty} \sum^{n}_{k=1} \frac{x - x_0}{n} f(x_0 + \frac{x-x_0}{n} k) = F(x) - F(x_0) +\end{align*} + +$S(x)$ は、次のように表すこともできる。 + +\begin{align*} + \int^{x}_{x_0} f(t) dt &= F(x) - F(x_0) \\ + &= [F(t)]^x_{x_0} +\end{align*} + +\subsection*{証明} +微分の定義により、 +\begin{align} + S'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{S(x+h) - S(x)}{h} + \label{df} +\end{align} + +$f(x)$ の $[x, x+h]$ での 最小値・最大値をそれぞれ $\min(f(x+h))$、$\max(f(x+h))$ とすると、 +\begin{align*} + h \cdot \min(f(x+h)) &\leq S(x+h) - S(x) \leq h \cdot \max(f(x+h)) \\ + \min(f(x+h)) &\leq \frac{S(x+h) - S(x)}{h} \leq \max(f(x+h)) +\end{align*} + +$h \to 0$ とすると、$\min(f(x+h)) \to f(x)$、$\max(f(x+h)) \to f(x)$。 + +そのため、はさみうちの原理により、 +\begin{align} + \lim_{h \to 0} \frac{S(x+h) - S(x)}{h} = f(x) + \label{hasami} +\end{align} + + +\ref{df}、\ref{hasami} より、 +\begin{align*} + S'(x) = f(x) +\end{align*} + +$C$ を積分定数とすると、 +\begin{align} + S(x) = F(x) + C + \label{sx} +\end{align} + +また、$x = x_0$ のとき、 +\begin{align*} + S(x_0) = \lim_{n \to \infty} \sum^{n}_{k=1} \frac{x_0 - x_0}{n} f(x_0 + \frac{x_0-x_0}{n} k) = 0 +\end{align*} + +\ref{sx} に$x = x_0$、$S(x_0) = 0$ を代入し、 +\begin{align*} + 0 &= F(x_0) + C \\ + C &= -F(x_0) +\end{align*} + +そのため、 +\begin{align*} + S(x) = F(x) - F(x_0) +\end{align*} + +\end{document}